pythagoreischer Lehrsatz

pythagoreischer Lehrsatz

 

[nach Pythagoras von Samos], Satz des Pythagoras, grundlegender Lehrsatz der Geometrie, der besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. Sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse, so gilt: a² + b² = c². Der pythagoreische Lehrsatz ist gleichbedeutend mit dem Höhensatz und dem Kathetensatz. Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung des pythagoreischen Lehrsatzes auf nichtrechtwinklige Dreiecke. Auch die Umkehrung des pythagoreischen Lehrsatzes gilt: Sind a, b und c positive reelle Zahlen mit a² + b² = c², so ist das entsprechende Dreieck mit den Seiten a, b und c rechtwinklig. Speziell nennt man natürliche Zahlen a, b und c mit a² + b² = c² auch pythagoreische Zahlentripel. Sind m und n natürliche teilerfremde Zahlen, für die m > n und m — n ungerade ist, so bilden a = m² — n², b = 2mn und c = m² + n² ein pythagoreisches Tripel, z. B. (3, 4, 5) für m = 2 und n = 1 (fermatsche Vermutung).

 

Für den pythagoreischen Lehrsatz sind mehr als 100 Beweise bekannt. Er zählt zum ältesten geometrischen Wissen der Menschheit: Bereits auf babylonischen Keilschrifttafeln (2000-1500 v. Chr.) finden sich Tabellen mit pythagoreischen Tripeln, die vermutlich zur Konstruktion rechter Winkel dienten. Welche Rolle Pythagoras und die Pythagoreer im Zusammenhang mit dem pythagoreischen Lehrsatz gespielt haben, lässt sich nicht vollständig klären: Proklos berichtet mit einem skeptischen Unterton, dass »diejenigen, die das Altertum erforschen wollen«, den pythagoreischen Lehrsatz auf Pythagoras zurückführten. Euklid gibt in seinen »Elementen« (Buch 1, 47) einen Beweis des pythagoreischen Lehrsatzes (in Buch 1, 48 einen für dessen Umkehrung).

 

Literatur:

 

W. Lietzmann: Der p. L. (Leipzig ⁹1968).